茨城大学
2014年 理学部 第1問
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区間$0<x<\pi$で関数$y=f(x)=\cos (\sqrt{2}x)$を考え,そのグラフを$C$とする.$C$上の点$\mathrm{P}(\theta,\ \cos (\sqrt{2} \theta))$における$C$の法線を$\ell$,$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$,点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$g(\theta)$とする.ただし,点$\mathrm{P}$における$C$の法線とは,点$\mathrm{P}$を通りかつ$\mathrm{P}$での$C$の接線に直交する直線のことである.以下の各問に答えよ.
(1) $f(x)$の増減の様子を調べ,$C$の概形をかけ.さらに,$f(x)$の最小値を与える$x$の値,および$C$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ.
(2) $\ell$の方程式を求めよ.
(3) $\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(4) $\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき,$t=\cos^2 (\sqrt{2} \theta)$の動く範囲と$g(\theta)$の最大値を求めよ.
(5) $\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき,$g(\theta)$の最大値を与える$\theta$の値をすべて求めよ.
(1) $f(x)$の増減の様子を調べ,$C$の概形をかけ.さらに,$f(x)$の最小値を与える$x$の値,および$C$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ.
(2) $\ell$の方程式を求めよ.
(3) $\mathrm{Q}$の座標を求めよ.
(4) $\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき,$t=\cos^2 (\sqrt{2} \theta)$の動く範囲と$g(\theta)$の最大値を求めよ.
(5) $\theta$が$0<\theta<\pi$の範囲を動くとき,$g(\theta)$の最大値を与える$\theta$の値をすべて求めよ.
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