大阪府立大学
2015年 工学域(中期) 第4問
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座標平面上に,原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{A}(2,\ 1)$,$\mathrm{B}(0,\ -1)$がある.原点$\mathrm{O}$を通り,$\overrightarrow{u}=(2,\ -1)$を方向ベクトルとする直線を$\ell$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき,$s,\ t$を実数として,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{P}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{b}+t \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{Q}$を考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) $\angle \mathrm{POQ}$が直角となる$s,\ t$の条件を求めよ.
(3) 直線$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{R}$とし,実数$k$を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k \overrightarrow{u}$とする.このとき,$k$を$s,\ t$を用いて表せ.
(4) $\angle \mathrm{POQ}$が直角となる条件のもと,三角形$\mathrm{POQ}$の面積$F$が最小となるときの$k$の値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) $\angle \mathrm{POQ}$が直角となる$s,\ t$の条件を求めよ.
(3) 直線$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{R}$とし,実数$k$を用いて,$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k \overrightarrow{u}$とする.このとき,$k$を$s,\ t$を用いて表せ.
(4) $\angle \mathrm{POQ}$が直角となる条件のもと,三角形$\mathrm{POQ}$の面積$F$が最小となるときの$k$の値を求めよ.
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