岡山大学
2015年 文系 第4問
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$2$次関数$y=f(x)$のグラフは,上に凸であり,原点および点$\mathrm{Q}(a,\ 0)$を通るものとする.ただし,$0<a<1$である.関数$y=x^2$のグラフを$C$,関数$y=f(x)$のグラフを$D$とし,$C$と$D$の共有点のうち,原点と異なるものを$\mathrm{P}$とする.点$\mathrm{P}$における$C$の接線の傾きを$m$,$D$の接線の傾きを$n$とするとき
\[ (2a-1)m=2an \]
が成り立つとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $f(x)$を$x$と$a$の式で表せ.
(2) $0 \leqq x \leqq a$の範囲で,曲線$D$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$の式で表せ.
(3) $(2)$で求めた$S(a)$の$0<a<1$における最大値を求めよ.
(1) $f(x)$を$x$と$a$の式で表せ.
(2) $0 \leqq x \leqq a$の範囲で,曲線$D$と$x$軸で囲まれた図形の面積を$S(a)$とする.$S(a)$を$a$の式で表せ.
(3) $(2)$で求めた$S(a)$の$0<a<1$における最大値を求めよ.
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