名古屋大学
2016年 理系 第2問
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$2$つの円$C:(x-1)^2+y^2=1$と$D:(x+2)^2+y^2=7^2$を考える.また原点を$\mathrm{O}(0,\ 0)$とする.このとき,次の問に答えよ.
(1) 円$C$上に,$y$座標が正であるような点$\mathrm{P}$をとり,$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする.このとき,点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ.
(2) $(1)$でとった点$\mathrm{P}$を固定したまま,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大になるときの$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{P}$が円$C$上を動き,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ.
ただし$(2)$,$(3)$においては,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるときは,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$0$であるとする.
(1) 円$C$上に,$y$座標が正であるような点$\mathrm{P}$をとり,$x$軸の正の部分と線分$\mathrm{OP}$のなす角を$\theta$とする.このとき,点$\mathrm{P}$の座標と線分$\mathrm{OP}$の長さを$\theta$を用いて表せ.
(2) $(1)$でとった点$\mathrm{P}$を固定したまま,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積が最大になるときの$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ.
(3) 点$\mathrm{P}$が円$C$上を動き,点$\mathrm{Q}$が円$D$上を動くとき,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積の最大値を求めよ.
ただし$(2)$,$(3)$においては,$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$が同一直線上にあるときは,$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は$0$であるとする.
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