宮崎大学
2011年 医学部 第5問
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![方程式tanx=xについて,次の各問に答えよ.ただし,必要であれば,0<x<π/2を満たすxについて,不等式sinx<x<tanxが成り立つことを用いてもよい.(1)各自然数nについて,nπ-π/2<x<nπ+π/2の範囲に方程式tanx=xの解がただ1つ存在することを示せ.(2)各自然数nについて,(1)で存在が示された解をx_nとする.このとき,極限値\lim_{n→∞}n(nπ+π/2-x_n)を求めよ.](./thumb/735/3043/2011_5.png)
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方程式$\tan x=x$について,次の各問に答えよ.ただし,必要であれば,$\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$を満たす$x$について,不等式$\sin x <x < \tan x$が成り立つことを用いてもよい.
(1) 各自然数$n$について,$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ.
(2) 各自然数$n$について,(1)で存在が示された解を$x_n$とする.このとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ.
(1) 各自然数$n$について,$\displaystyle n\pi-\frac{\pi}{2}<x<n\pi+\frac{\pi}{2}$の範囲に方程式$\tan x=x$の解がただ1つ存在することを示せ.
(2) 各自然数$n$について,(1)で存在が示された解を$x_n$とする.このとき,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n \left( n\pi+\frac{\pi}{2}-x_n \right)$を求めよ.
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