北里大学
2015年 医学部 第1問
1
1
次の$\fbox{}$にあてはまる答を記せ.
(1) $k$を定数とするとき,方程式$\sqrt{4x-3}=x+k$の実数解の個数が$2$個となる$k$の値の範囲は$\fbox{ア}$,実数解の個数が$1$個となる$k$の値の範囲は$\fbox{イ}$である.また,曲線$y=\sqrt{4x-3}$と直線$y=x$で囲まれた部分を,$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$\fbox{ウ}$である.
(2) 曲線$y=kx^3-1$と曲線$y=\log x$が共有点をもち,その点において共通の接線をもつとするとき,定数$k$の値は$\fbox{エ}$,共通の接線の方程式は$y=\fbox{オ}$である.
(3) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき,$\{a_n\}$は \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=S_n+n^2+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を満たす.このとき,$a_4=\fbox{カ}$であり,$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\fbox{キ}$である.また,$S_n=\fbox{ク}$である.
(4) $\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{AC}=4$,$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$である.$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく.
(ⅰ) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\fbox{ケ}$である.
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\fbox{コ} \overrightarrow{b}+\fbox{サ} \overrightarrow{c}$である.
(ⅲ) 直線$\mathrm{BO}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$は$\fbox{シ}$である.
(5) $\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんは,毎日正午に次の規則にしたがって食事をとる.
(ⅰ) 食堂$\mathrm{A}$,食堂$\mathrm{B}$,食堂$\mathrm{C}$のいずれかで食事をとる.
(ⅱ) 食堂は前日とは異なる$2$つの食堂のうちの$1$つを無作為に選ぶ.
(ⅲ) $2$人が同じ食堂を選んだ日は,必ず一緒に食事をとる.
$1$日目,$2$人は別々の食堂で食事をとったとする.このとき,$3$日目に初めて$2$人が一緒に食事をとる確率は$\fbox{ス}$である.また,$2$人が一緒に食事をとる$2$回目の日が$7$日目となる確率は$\fbox{セ}$である.
(1) $k$を定数とするとき,方程式$\sqrt{4x-3}=x+k$の実数解の個数が$2$個となる$k$の値の範囲は$\fbox{ア}$,実数解の個数が$1$個となる$k$の値の範囲は$\fbox{イ}$である.また,曲線$y=\sqrt{4x-3}$と直線$y=x$で囲まれた部分を,$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積は$\fbox{ウ}$である.
(2) 曲線$y=kx^3-1$と曲線$y=\log x$が共有点をもち,その点において共通の接線をもつとするとき,定数$k$の値は$\fbox{エ}$,共通の接線の方程式は$y=\fbox{オ}$である.
(3) 数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とするとき,$\{a_n\}$は \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=S_n+n^2+1 \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] を満たす.このとき,$a_4=\fbox{カ}$であり,$\{a_n\}$の一般項は$a_n=\fbox{キ}$である.また,$S_n=\fbox{ク}$である.
(4) $\triangle \mathrm{ABC}$において,$\mathrm{AB}=3$,$\mathrm{AC}=4$,$\displaystyle \angle \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$である.$\triangle \mathrm{ABC}$の外心を$\mathrm{O}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく.
(ⅰ) $\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径は$\fbox{ケ}$である.
(ⅱ) $\overrightarrow{\mathrm{AO}}$を$\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{c}$を用いて表すと$\overrightarrow{\mathrm{AO}}=\fbox{コ} \overrightarrow{b}+\fbox{サ} \overrightarrow{c}$である.
(ⅲ) 直線$\mathrm{BO}$と辺$\mathrm{AC}$の交点を$\mathrm{P}$とするとき,$\mathrm{AP}:\mathrm{PC}$は$\fbox{シ}$である.
(5) $\mathrm{X}$君と$\mathrm{Y}$さんは,毎日正午に次の規則にしたがって食事をとる.
(ⅰ) 食堂$\mathrm{A}$,食堂$\mathrm{B}$,食堂$\mathrm{C}$のいずれかで食事をとる.
(ⅱ) 食堂は前日とは異なる$2$つの食堂のうちの$1$つを無作為に選ぶ.
(ⅲ) $2$人が同じ食堂を選んだ日は,必ず一緒に食事をとる.
$1$日目,$2$人は別々の食堂で食事をとったとする.このとき,$3$日目に初めて$2$人が一緒に食事をとる確率は$\fbox{ス}$である.また,$2$人が一緒に食事をとる$2$回目の日が$7$日目となる確率は$\fbox{セ}$である.
類題(関連度順)
コメント(1件)
2015-08-16 17:12:13
(4)解説お願いします。 |
書き込むにはログインが必要です。