金沢大学
2015年 理系 第1問
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四面体$\mathrm{OABC}$において,$3$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$はどの$2$つも互いに垂直であり,$h>0$に対して,
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=h \]
とする.$3$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を通る平面上の点$\mathrm{P}$は,$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$が$\overrightarrow{\mathrm{CA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CB}}$のどちらとも垂直となる点であるとする.次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき,$\alpha$と$\beta$を$h$を用いて表せ.
(2) 直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$が直交していることを示せ.
(3) $\triangle \mathrm{PAB}$は,辺$\mathrm{AB}$を底辺とする二等辺三角形ではないことを示せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\beta \overrightarrow{\mathrm{OB}}$とするとき,$\alpha$と$\beta$を$h$を用いて表せ.
(2) 直線$\mathrm{OP}$と直線$\mathrm{AB}$が直交していることを示せ.
(3) $\triangle \mathrm{PAB}$は,辺$\mathrm{AB}$を底辺とする二等辺三角形ではないことを示せ.
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