福井大学
2012年 工学部 第2問
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四面体$\mathrm{OABC}$において,$\mathrm{OA}=2$,$\mathrm{OB}=\sqrt{2}$,$\mathrm{OC}=1$であり,$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{2}$,$\displaystyle \angle \mathrm{AOC}=\frac{\pi}{3}$,$\displaystyle \angle \mathrm{BOC}=\frac{\pi}{4}$であるとする.また,3点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$を含む平面を$\alpha$とし,点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に下ろした垂線と$\alpha$との交点を$\mathrm{H}$,平面$\alpha$に関して$\mathrm{C}$と対称な点を$\mathrm{K}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OH}},\ \overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし,平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{GP}+\mathrm{PC}$を最小にする点を$\mathrm{P}_0$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.また,点$\mathrm{P}_0$は$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にあることを示せ.
(1) 内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c},\ \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}$を求めよ.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OH}},\ \overrightarrow{\mathrm{OK}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$を用いて表せ.
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし,平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$で$\mathrm{GP}+\mathrm{PC}$を最小にする点を$\mathrm{P}_0$とする.このとき,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ.また,点$\mathrm{P}_0$は$\triangle \mathrm{OAB}$の周または内部にあることを示せ.
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