獨協医科大学
2014年 医学部 第5問
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関数$f(x)=2x+\cos x$がある.$xy$平面上の曲線$y=f(x)$の$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$の部分を$C$とし,$C$と直線$y=2x$,および直線$x+2y=2$で囲まれた領域を$D$とする.領域$D$を直線$y=2x$の周りに$1$回転してできる立体の体積を求めよう.
\imgc{101_2273_2014_1}
$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする.
線分$\mathrm{PQ}$の長さは \[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{\fbox{ア}}} \] であり,点$\mathrm{Q}$の$x$座標は \[ t+\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos t \] である.これから,$\mathrm{OQ}=s$とおくと \[ s=\sqrt{\fbox{エ}} \left( t+\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos t \right) \] である.
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する.よって,求める体積$V$は
$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{\fbox{オ}} \pi}{\fbox{カ}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{\fbox{ケ}} \pi^2}{\fbox{コサ}}-\frac{\fbox{シ} \sqrt{\fbox{ス}} \pi}{\fbox{セソ}}$
である.
$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$から直線$y=2x$に下ろした垂線と直線$y=2x$との交点を$\mathrm{Q}$とする.
線分$\mathrm{PQ}$の長さは \[ \frac{|\cos t|}{\sqrt{\fbox{ア}}} \] であり,点$\mathrm{Q}$の$x$座標は \[ t+\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos t \] である.これから,$\mathrm{OQ}=s$とおくと \[ s=\sqrt{\fbox{エ}} \left( t+\frac{\fbox{イ}}{\fbox{ウ}} \cos t \right) \] である.
$f^\prime(x)=2-\sin x>0$なので$f(x)$は増加する.よって,求める体積$V$は
$\displaystyle V=\int_{\frac{2 \sqrt{5}}{5}}^{\frac{\sqrt{5} \pi}{2}} \pi \mathrm{PQ}^2 \, ds$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{\fbox{オ}} \pi}{\fbox{カ}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos^2 t-\frac{\fbox{キ}}{\fbox{ク}} \cos^2 t \sin t \right) \, dt$
$\displaystyle \quad\, =\frac{\sqrt{\fbox{ケ}} \pi^2}{\fbox{コサ}}-\frac{\fbox{シ} \sqrt{\fbox{ス}} \pi}{\fbox{セソ}}$
である.
類題(関連度順)
コメント(2件)
2015-07-20 16:33:15
作りました。誘導があるものの、題材自体は「座標軸ではない直線周りの回転体の体積」ということで少し難しいです。そういう意味でやや難としました。誘導がなくても解けるくらいに学習しておけば(手順をマスターしておけば)、このテーマは完璧です。難しめの国立大学の問題としてもたまに見かけます。 |
2015-07-20 11:06:26
解答お願いします。 |
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