広島市立大学
2014年 理系 第3問
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![四面体OABCは,OA=BC,OB=AC,OC=ABを満たしているとし,OA=a,OB=b,OC=cとおく.三角形ABCと三角形OACの重心をそれぞれG,Hとするとき,次の問いに答えよ.(1)ベクトルOG,ベクトルBHをそれぞれベクトルOA,ベクトルOB,ベクトルOCを用いて表せ.(2)内積ベクトルOA・ベクトルOBをa,b,cを用いて表せ.(3)OG⊥BHであるとき,a^2+c^2=3b^2が成り立つことを示せ.](./thumb/632/2825/2014_3.png)
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四面体$\mathrm{OABC}$は,$\mathrm{OA}=\mathrm{BC}$,$\mathrm{OB}=\mathrm{AC}$,$\mathrm{OC}=\mathrm{AB}$を満たしているとし,$\mathrm{OA}=a$,$\mathrm{OB}=b$,$\mathrm{OC}=c$とおく.三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{OAC}$の重心をそれぞれ$\mathrm{G}$,$\mathrm{H}$とするとき,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ.
(2) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{OG} \perp \mathrm{BH}$であるとき,$a^2+c^2=3b^2$が成り立つことを示せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OG}}$,$\overrightarrow{\mathrm{BH}}$をそれぞれ$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ.
(2) 内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(3) $\mathrm{OG} \perp \mathrm{BH}$であるとき,$a^2+c^2=3b^2$が成り立つことを示せ.
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