$\triangle \mathrm{ABC}$において，内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) $\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2) 直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3) $2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4) $\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．