岡山理科大学
2013年 理系 第4問
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次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$がある．
\[ a_1=2,\quad a_2=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
各$n$に対して，$b_n$を$b_n=a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$とし，$c_n$を$2$次方程式$a_{n+2}x^2+a_{n+1}x-a_n=0$の解のうち大きいほうとする．このとき，次の設問に答えよ．
(1) $b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2) $c_n$を$a_n$と$a_{n+2}$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{a_ka_{k+1}}$を$c_n$を用いて表せ．
(1) $b_1,\ b_2,\ b_3,\ b_4$の値を求めよ．また，数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(2) $c_n$を$a_n$と$a_{n+2}$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{a_ka_{k+1}}$を$c_n$を用いて表せ．
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