首都大学東京
2011年 都市教養(文系) 第4問
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![数列{a_n}が次の式によって与えられているとする.a_n=(1-1/4)(1-1/9)(1-1/16)・・・(1-\frac{1}{(n+1)^2})このとき,以下の問いに答えなさい.(1)n=1,2,3,4に対して,それぞれ2(n+1)a_nの値を求めなさい.(2)a_nの一般項を推定し,推定した式がすべての自然数nに対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい.(3)a_n>1/2+\frac{100}{n^2}をみたす最小のnを求めなさい.](./thumb/188/1477/2011_4.png)
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数列$\{a_n\}$が次の式によって与えられているとする.
\[ a_n = \left( 1-\frac{1}{4} \right) \left( 1-\frac{1}{9} \right) \left( 1-\frac{1}{16} \right) \cdots \left( 1-\frac{1}{(n+1)^2} \right) \]
このとき,以下の問いに答えなさい.
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して,それぞれ$2(n+1)a_n$の値を求めなさい.
(2) $a_n$の一般項を推定し,推定した式がすべての自然数$n$に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい.
(3) $\displaystyle a_n > \frac{1}{2}+\frac{100}{n^2}$をみたす最小の$n$を求めなさい.
(1) $n=1,\ 2,\ 3,\ 4$に対して,それぞれ$2(n+1)a_n$の値を求めなさい.
(2) $a_n$の一般項を推定し,推定した式がすべての自然数$n$に対して正しいことを数学的帰納法を用いて証明しなさい.
(3) $\displaystyle a_n > \frac{1}{2}+\frac{100}{n^2}$をみたす最小の$n$を求めなさい.
類題(関連度順)
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