東京医科歯科大学
2014年 医学部 第1問
1
![自然数nに対し,3個の数字1,2,3から重複を許してn個並べたもの(x_1,x_2,・・・,x_n)の全体の集合をS_nとおく.S_nの要素(x_1,x_2,・・・,x_n)に対し,次の2つの条件を考える.条件C_{12}:1≦i<j≦nである整数i,jの組で,x_i=1,x_j=2を満たすものが少なくとも1つ存在する.条件C_{123}:1≦i<j<k≦nである整数i,j,kの組で,x_i=1,x_j=2,x_k=3を満たすものが少なくとも1つ存在する.例えば,S_4の要素(3,1,2,2)は条件C_{12}を満たすが,条件C_{123}は満たさない.S_nの要素(x_1,x_2,・・・,x_n)のうち,条件C_{12}を満たさないものの個数をf(n),条件C_{123}を満たさないものの個数をg(n)とおく.このとき以下の各問いに答えよ.(1)f(4)とg(4)を求めよ.(2)f(n)をnを用いて表せ.(3)g(n+1)をg(n)とf(n)を用いて表せ.(4)g(n)をnを用いて表せ.](./thumb/180/1908/2014_1.png)
1
自然数$n$に対し,$3$個の数字$1,\ 2,\ 3$から重複を許して$n$個並べたもの$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$の全体の集合を$S_n$とおく.$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$に対し,次の$2$つの条件を考える.
条件$\mathrm{C}_{12}$:$1 \leqq i<j \leqq n$である整数$i,\ j$の組で,$x_i=1$,$x_j=2$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する.
条件$\mathrm{C}_{123}$:$1 \leqq i<j<k \leqq n$である整数$i,\ j,\ k$の組で,$x_i=1$,$x_j=2$,$x_k=3$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する.
例えば,$S_4$の要素$(3,\ 1,\ 2,\ 2)$は条件$\mathrm{C}_{12}$を満たすが,条件$\mathrm{C}_{123}$は満たさない.
$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$のうち,条件$\mathrm{C}_{12}$を満たさないものの個数を$f(n)$,条件$\mathrm{C}_{123}$を満たさないものの個数を$g(n)$とおく.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $f(4)$と$g(4)$を求めよ.
(2) $f(n)$を$n$を用いて表せ.
(3) $g(n+1)$を$g(n)$と$f(n)$を用いて表せ.
(4) $g(n)$を$n$を用いて表せ.
条件$\mathrm{C}_{12}$:$1 \leqq i<j \leqq n$である整数$i,\ j$の組で,$x_i=1$,$x_j=2$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する.
条件$\mathrm{C}_{123}$:$1 \leqq i<j<k \leqq n$である整数$i,\ j,\ k$の組で,$x_i=1$,$x_j=2$,$x_k=3$を満たすものが少なくとも$1$つ存在する.
例えば,$S_4$の要素$(3,\ 1,\ 2,\ 2)$は条件$\mathrm{C}_{12}$を満たすが,条件$\mathrm{C}_{123}$は満たさない.
$S_n$の要素$(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n)$のうち,条件$\mathrm{C}_{12}$を満たさないものの個数を$f(n)$,条件$\mathrm{C}_{123}$を満たさないものの個数を$g(n)$とおく.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $f(4)$と$g(4)$を求めよ.
(2) $f(n)$を$n$を用いて表せ.
(3) $g(n+1)$を$g(n)$と$f(n)$を用いて表せ.
(4) $g(n)$を$n$を用いて表せ.
類題(関連度順)
![](./thumb/669/2872/2010_9s.png)
![](./thumb/177/2315/2013_3s.png)
![](./thumb/236/2215/2015_1s.png)
![](./thumb/7/18/2013_3s.png)
![](./thumb/474/2608/2015_4s.png)
![](./thumb/598/1652/2015_6s.png)
![](./thumb/598/1652/2013_15s.png)
![](./thumb/304/8/2011_3s.png)
![](./thumb/237/2236/2015_3s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。