同志社大学
2013年 理系全学部日程 第4問
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$k$は定数とし,媒介変数$t$を用いて$x=2 \sin^3 t$,$\displaystyle y=k \cos^3 t \ \ \left( 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2} \right)$と表される曲線$S$を考える.次の問いに答えよ.
(1) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$k,\ t$を用いて表せ.ただし$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする.
(2) 曲線$S$が直線$x+y=1$に第$1$象限で接しているとき,接点の座標を$(p,\ q)$とする.$p,\ q,\ k$の値を求めよ.また,そのときの$t$の値$t_0$を求めよ.
(3) $(2)$で定まる$t_0$に対し,$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^4 t \, dt$,$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^6 t \, dt$の値をそれぞれ求めよ.
(4) $(2)$で定まる$p,\ q,\ k,\ t_0$に対し,$0 \leqq x \leqq p$で曲線$S$,直線$x+y=1$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
(1) $\displaystyle \frac{dy}{dx}$を$k,\ t$を用いて表せ.ただし$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする.
(2) 曲線$S$が直線$x+y=1$に第$1$象限で接しているとき,接点の座標を$(p,\ q)$とする.$p,\ q,\ k$の値を求めよ.また,そのときの$t$の値$t_0$を求めよ.
(3) $(2)$で定まる$t_0$に対し,$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^4 t \, dt$,$\displaystyle \int_0^{t_0} \cos^6 t \, dt$の値をそれぞれ求めよ.
(4) $(2)$で定まる$p,\ q,\ k,\ t_0$に対し,$0 \leqq x \leqq p$で曲線$S$,直線$x+y=1$と$y$軸で囲まれる図形の面積を求めよ.
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