横浜市立大学
2016年 国際総合学部 第1問
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![nをn≧2である整数とするとき,以下の各問に答えよ.(1)不定積分∫tanxdxを求めよ.(2)\frac{tan^nx}{sinx}の導関数を求めよ.(3)不定積分∫\frac{tan^{n-2}x}{cos^2x}dxを求めよ.(4)式∫tan^nxdx=\frac{1}{n-1}tan^{n-1}x-∫tan^{n-2}xdxが成り立つことを証明せよ.(5)定積分∫_0^{π/4}tan^3xdxを求めよ.](./thumb/308/863/2016_1.png)
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$n$を$n \geqq 2$である整数とするとき,以下の各問に答えよ.
(1) 不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$を求めよ.
(2) $\displaystyle \frac{\tan^n x}{\sin x}$の導関数を求めよ.
(3) 不定積分$\displaystyle \int \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x} \, dx$を求めよ.
(4) 式 \[ \int \tan^n x \, dx=\frac{1}{n-1} \tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2} x \, dx \] が成り立つことを証明せよ.
(5) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^3 x \, dx$を求めよ.
(1) 不定積分$\displaystyle \int \tan x \, dx$を求めよ.
(2) $\displaystyle \frac{\tan^n x}{\sin x}$の導関数を求めよ.
(3) 不定積分$\displaystyle \int \frac{\tan^{n-2} x}{\cos^2 x} \, dx$を求めよ.
(4) 式 \[ \int \tan^n x \, dx=\frac{1}{n-1} \tan^{n-1}x-\int \tan^{n-2} x \, dx \] が成り立つことを証明せよ.
(5) 定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^3 x \, dx$を求めよ.
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