岡山県立大学
2014年 理系 第2問
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次の問いに答えよ．
(1) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$と単位行列$E$，零行列$O$に対して，等式 \[ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O \] が成り立つことを示せ．
(2) 行列$B=\left( \begin{array}{cc} 1 & \sqrt{3}+1 \\ \sqrt{3}-1 & 2 \end{array} \right)$と自然数$n$に対して， \[ B+2B^2+3B^3+\cdots +nB^n=b_nB \] を満たす実数$b_n$を求めよ．
(1) 行列$A=\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$と単位行列$E$，零行列$O$に対して，等式 \[ A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O \] が成り立つことを示せ．
(2) 行列$B=\left( \begin{array}{cc} 1 & \sqrt{3}+1 \\ \sqrt{3}-1 & 2 \end{array} \right)$と自然数$n$に対して， \[ B+2B^2+3B^3+\cdots +nB^n=b_nB \] を満たす実数$b_n$を求めよ．
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