東京理科大学
2015年 理(数) 第1問
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次の$\fbox{ア}$~$\fbox{ヒ}$にあてはまる$0$から$9$までの数字,および,$\fbox{あ}$にあてはまる$+$か$-$の符号を入れよ.
$p$を$3$で割り切れない整数とする.このとき,整数$a$と$b$に対し,
「$pa-b$が$3$の倍数ならば,$a-pb$も$3$の倍数になる.」
がわかる.これを認めて,$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める.$a_1=1$とし,$b_1$は$0$,$1$,$2$いずれかの数で$pa_1-b_1$が$3$の倍数になるようなものとし,$n=2,\ 3,\ \cdots$に対し,$a_n,\ b_n$を次のように定める. \begin{itemize}
$\displaystyle a_n=\frac{1}{3}(a_{n-1}-pb_{n-1})$
$b_n$は,$0,\ 1,\ 2$いずれかの数で$pa_n-b_n$が$3$の倍数となるようなものとする. \end{itemize} このように定められた$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について,以下の各問いに答えよ.
(1) $p=8$のとき,$b_1=\fbox{ア}$,$a_2=-\fbox{イ}$,$b_2=\fbox{ウ}$,$a_3=-\fbox{エ}$,$b_4=\fbox{オ}$,$a_4=-\fbox{カ}$,$b_4=\fbox{キ}$,$a_5=-\fbox{ク}$,$b_5=\fbox{ケ}$,$a_6=-\fbox{コ}$となる.
(2) $p=-13$のとき,$a_{190}=\fbox{サ}$,$b_{190}=\fbox{シ}$,$a_{191}=\fbox{ス}$,$b_{191}=\fbox{セ}$,$a_{192}=\fbox{ソ}$,$b_{192}=\fbox{タ}$となる.
(3) $p=-13$のとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^{200} a_k=\fbox{チ}\fbox{ツ}\fbox{テ}$となる.
(4) $p=-13$のとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^{30} k^2b_k=\kakkofour{ト}{ナ}{ニ}{ヌ}$となる.
(5) $p=3^{11}+1$のとき,数列$\{b_n\}$の第$2$項目以降で$0$でない値が初めて出てくるのは,第$\fbox{ネ}\fbox{ノ}$項目であり,その項の値は$\fbox{ハ}$である. 数列$\{b_n\}$のすべての項が$1$となるような整数$p$で絶対値が最小となるものは,$\fbox{あ} \fbox{ヒ}$である.$0$のときは,$+0$で表すものとする.
$p$を$3$で割り切れない整数とする.このとき,整数$a$と$b$に対し,
「$pa-b$が$3$の倍数ならば,$a-pb$も$3$の倍数になる.」
がわかる.これを認めて,$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を以下のように定める.$a_1=1$とし,$b_1$は$0$,$1$,$2$いずれかの数で$pa_1-b_1$が$3$の倍数になるようなものとし,$n=2,\ 3,\ \cdots$に対し,$a_n,\ b_n$を次のように定める. \begin{itemize}
$\displaystyle a_n=\frac{1}{3}(a_{n-1}-pb_{n-1})$
$b_n$は,$0,\ 1,\ 2$いずれかの数で$pa_n-b_n$が$3$の倍数となるようなものとする. \end{itemize} このように定められた$2$つの整数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$について,以下の各問いに答えよ.
(1) $p=8$のとき,$b_1=\fbox{ア}$,$a_2=-\fbox{イ}$,$b_2=\fbox{ウ}$,$a_3=-\fbox{エ}$,$b_4=\fbox{オ}$,$a_4=-\fbox{カ}$,$b_4=\fbox{キ}$,$a_5=-\fbox{ク}$,$b_5=\fbox{ケ}$,$a_6=-\fbox{コ}$となる.
(2) $p=-13$のとき,$a_{190}=\fbox{サ}$,$b_{190}=\fbox{シ}$,$a_{191}=\fbox{ス}$,$b_{191}=\fbox{セ}$,$a_{192}=\fbox{ソ}$,$b_{192}=\fbox{タ}$となる.
(3) $p=-13$のとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^{200} a_k=\fbox{チ}\fbox{ツ}\fbox{テ}$となる.
(4) $p=-13$のとき,$\displaystyle \sum_{k=1}^{30} k^2b_k=\kakkofour{ト}{ナ}{ニ}{ヌ}$となる.
(5) $p=3^{11}+1$のとき,数列$\{b_n\}$の第$2$項目以降で$0$でない値が初めて出てくるのは,第$\fbox{ネ}\fbox{ノ}$項目であり,その項の値は$\fbox{ハ}$である. 数列$\{b_n\}$のすべての項が$1$となるような整数$p$で絶対値が最小となるものは,$\fbox{あ} \fbox{ヒ}$である.$0$のときは,$+0$で表すものとする.
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