大阪府立大学
2010年 工学域(中期) 第2問
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平面上に4点O,A,B,Cがあり,点Oを始点とするそれぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$とし,
\[ |\overrightarrow{a}|=\sqrt{2},\ \ |\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{10},\ \ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=2,\ \ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=8,\ \ \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=20 \]
が成り立つとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) 点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする.このとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$を求めよ.
(3) 実数$s,\ t$に対して,点Pを \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \] で定める.$s,\ t$が条件 \[ (s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0 \] を満たしながら変化するとき,$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$の最小値を求めよ.
(1) $\overrightarrow{c}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.
(2) 点Cから直線ABに下ろした垂線と直線ABの交点をHとする.このとき,ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ.また,$|\overrightarrow{\mathrm{CH}}|$を求めよ.
(3) 実数$s,\ t$に対して,点Pを \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b} \] で定める.$s,\ t$が条件 \[ (s+t-1)(s+3t-3) \leqq 0 \] を満たしながら変化するとき,$|\overrightarrow{\mathrm{CP}}|$の最小値を求めよ.
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