鹿児島大学
2014年 医(医)・理(数理・物理・地環)・工・歯 第3問
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$r$を実数とする.$\{a_n\}$を
\[ a_1=1,\quad a_2=3,\quad a_{n+2}=ra_{n+1}-4a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定められる数列とする.次の各問いに答えよ.
(1) $r=0$の場合に,以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ.
$\tokeiichi$ \ \ $n$が奇数のとき. \qquad $\tokeini$ \ \ $n$が偶数のとき.
(2) $r=5$の場合に,次の$\tokeiichi$,$\tokeini$に答えよ.
(ⅰ) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき,一般項$b_n,\ c_n$を求めよ.
(ⅱ) 一般項$a_n$を求めよ.
(3) $r=4$の場合に,次の$\tokeiichi$,$\tokeini$に答えよ.
(ⅰ) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき,一般項$d_n$を求めよ.
(ⅱ) 一般項$a_n$を求めよ.
(1) $r=0$の場合に,以下のそれぞれについて一般項$a_n$を$n$の式で表せ.
$\tokeiichi$ \ \ $n$が奇数のとき. \qquad $\tokeini$ \ \ $n$が偶数のとき.
(2) $r=5$の場合に,次の$\tokeiichi$,$\tokeini$に答えよ.
(ⅰ) 数列$\{b_n\},\ \{c_n\}$を
$b_n=a_{n+1}-a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots),\quad c_n=a_{n+1}-4a_n \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき,一般項$b_n,\ c_n$を求めよ.
(ⅱ) 一般項$a_n$を求めよ.
(3) $r=4$の場合に,次の$\tokeiichi$,$\tokeini$に答えよ.
(ⅰ) 数列$\{d_n\}$を
$\displaystyle d_n=\frac{a_{n+1}}{{2}^{n+1}}-\frac{a_n}{{2}^n} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定めるとき,一般項$d_n$を求めよ.
(ⅱ) 一般項$a_n$を求めよ.
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