京都薬科大学
2015年 薬学部 第3問
3
3
次の$\fbox{}$にあてはまる数または式を記入せよ.
漸化式$a_{n+2}=da_{n+1}-a_n$と条件$a_1=0$,$a_2=1$で定まる数列$\{a_n\}$の一般項を,$2$次方程式と三角関数を用いて求める.ここで,$d$は実数とする.
(1) 実数$\beta$をとり,$a_n=\beta^{n-1}$とおくとき,$\{a_n\}$が漸化式を満たすのは,$\beta$が$2$次方程式$\fbox{ア}=0$の解となるときである.
(2) $(1)$の$2$次方程式が相異なる$2$つの実数解を持つ条件は$d>\fbox{イ}$または$d<\fbox{ウ}$である.このとき,相異なる$2$つの実数解を$\beta_1,\ \beta_2$と表し,$a_n=p {\beta_1}^{n-1}+q {\beta_2}^{n-1}$($p,\ q:$任意の実数)とおけば,$\{a_n\}$は漸化式を満たす.よって,$a_1,\ a_2$の条件を満たすように$p,\ q$を定めれば,数列の一般項は$d$と$n$を用いて$a_n=\fbox{エ}$と表される.
(3) $(1)$の$2$次方程式が$2$つの虚数解を持つ条件は$\fbox{オ}<d<\fbox{カ}$である.三角関数の加法定理より \[ \left\{ \begin{array}{l} \cos (n+1) \theta+\cos (n-1) \theta=2 \fbox{キ} \cos \theta \\ \sin (n+1) \theta+\sin (n-1) \theta=2 \fbox{ク} \cos \theta \end{array} \right. \] が成り立つので,$a_n=p \cos (n-1) \theta+q \sin (n-1) \theta$($p,\ q:$任意の実数)とおき,$d=\fbox{ケ}$となるように$\theta$を選べば,$\{a_n\}$は漸化式を満たす.よって,$a_1,\ a_2$の条件を満たすように$p,\ q$を定めれば,数列の一般項は$\theta$と$n$を用いて$a_n=\fbox{コ}$のように表される.
漸化式$a_{n+2}=da_{n+1}-a_n$と条件$a_1=0$,$a_2=1$で定まる数列$\{a_n\}$の一般項を,$2$次方程式と三角関数を用いて求める.ここで,$d$は実数とする.
(1) 実数$\beta$をとり,$a_n=\beta^{n-1}$とおくとき,$\{a_n\}$が漸化式を満たすのは,$\beta$が$2$次方程式$\fbox{ア}=0$の解となるときである.
(2) $(1)$の$2$次方程式が相異なる$2$つの実数解を持つ条件は$d>\fbox{イ}$または$d<\fbox{ウ}$である.このとき,相異なる$2$つの実数解を$\beta_1,\ \beta_2$と表し,$a_n=p {\beta_1}^{n-1}+q {\beta_2}^{n-1}$($p,\ q:$任意の実数)とおけば,$\{a_n\}$は漸化式を満たす.よって,$a_1,\ a_2$の条件を満たすように$p,\ q$を定めれば,数列の一般項は$d$と$n$を用いて$a_n=\fbox{エ}$と表される.
(3) $(1)$の$2$次方程式が$2$つの虚数解を持つ条件は$\fbox{オ}<d<\fbox{カ}$である.三角関数の加法定理より \[ \left\{ \begin{array}{l} \cos (n+1) \theta+\cos (n-1) \theta=2 \fbox{キ} \cos \theta \\ \sin (n+1) \theta+\sin (n-1) \theta=2 \fbox{ク} \cos \theta \end{array} \right. \] が成り立つので,$a_n=p \cos (n-1) \theta+q \sin (n-1) \theta$($p,\ q:$任意の実数)とおき,$d=\fbox{ケ}$となるように$\theta$を選べば,$\{a_n\}$は漸化式を満たす.よって,$a_1,\ a_2$の条件を満たすように$p,\ q$を定めれば,数列の一般項は$\theta$と$n$を用いて$a_n=\fbox{コ}$のように表される.
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。