早稲田大学
2016年 政治経済学部 第2問
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座標空間において,原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ 2)$を直径の両端とする球面を$\mathrm{S}$とする.また$xy$平面上に放物線$\mathrm{C}:y=x^2-2$を描き,$\mathrm{C}$上に点$\mathrm{R}$をとる.線分$\mathrm{PR}$と球面$\mathrm{S}$の交点を$\mathrm{Q}$とし,$\mathrm{Q}$から$xy$平面に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする.このとき,以下の問に答えよ.
(1) 原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき,線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$,点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき,$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ.
(3) 点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき,$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ. \imgc{304_1_2016_1}
(1) 原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{R}$までの距離を$r$とするとき,線分$\mathrm{QR}$の長さを$r$を用いて表せ.
(2) 線分$\mathrm{QH}$の長さを$h$,点$\mathrm{R}$の座標を$(x,\ y,\ 0)$とするとき,$h \geqq 1$である場合に$x$がとる値の範囲を求めよ.
(3) 点$\mathrm{R}$が放物線$\mathrm{C}$上のすべての点を動くとき,$h$を最小にする$\mathrm{R}$の座標を求めよ. \imgc{304_1_2016_1}
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