防衛医科大学校
2010年 医学部 第1問
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$1$から$n$までの数字が$1$つずつ書かれた合計$n$枚のカードからランダムに$1$枚取り出して,書かれた数字を記録し,カードを元に戻す.この操作を$k$回繰り返したとき,記録された$k$個の数字の最大値を$X$とする(例えば$k=3$の場合で,記録された数字が$(5,\ 1,\ 2)$,$(3,\ 5,\ 5)$あるいは$(5,\ 5,\ 5)$のとき,$X=5$となる).このとき,以下の問に答えよ.
(1) $n=4,\ k=3$とすると,$P(X=2)$はいくらになるか.
(2) $n=4,\ k=3$としたときの$X$の期待値を求めよ.
(3) $k=3$としたときの$X$の期待値を,$n$を用いて表せ.
(4) $\mathrm{A}$君は$k=1$として上の試行を行い,値$X_A$を得るものとする.$\mathrm{B}$君は$k=a \ $($a$は1以上の整数)として上の試行を行い,値$X_B$を得るものとする.このとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(X_A \geqq X_B)$を求めよ.
(1) $n=4,\ k=3$とすると,$P(X=2)$はいくらになるか.
(2) $n=4,\ k=3$としたときの$X$の期待値を求めよ.
(3) $k=3$としたときの$X$の期待値を,$n$を用いて表せ.
(4) $\mathrm{A}$君は$k=1$として上の試行を行い,値$X_A$を得るものとする.$\mathrm{B}$君は$k=a \ $($a$は1以上の整数)として上の試行を行い,値$X_B$を得るものとする.このとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}P(X_A \geqq X_B)$を求めよ.
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