島根大学
2014年 総合理工（数理・情報システム） 第4問
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$E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \right)$とおく．$x$を実数とし，行列
\[ X=\left( \begin{array}{cc}
3x-1 & 2x-1 \\
-3x+2 & -2x+2
\end{array} \right) \]
を定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 自然数$n$に対して$X$の$n$乗を$X^n=\left( \begin{array}{cc} P_n(x) & Q_n(x) \\ R_n(x) & S_n(x) \end{array} \right)$とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{1}{2}$のとき，$Q_n(x)=0$であることを示せ．また，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{2}{3}$のとき，$R_n(x)=0$であることを示せ．
(2) $a$と$b$は定数とする．このとき，$X^2+aX+bE=O$をみたす実数$x$が存在するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3) $X^3=O$をみたす実数$x$は存在しないことを証明せよ．
(1) 自然数$n$に対して$X$の$n$乗を$X^n=\left( \begin{array}{cc} P_n(x) & Q_n(x) \\ R_n(x) & S_n(x) \end{array} \right)$とおく．このとき，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{1}{2}$のとき，$Q_n(x)=0$であることを示せ．また，すべての$n$に対して，$\displaystyle x=\frac{2}{3}$のとき，$R_n(x)=0$であることを示せ．
(2) $a$と$b$は定数とする．このとき，$X^2+aX+bE=O$をみたす実数$x$が存在するための$a,\ b$の条件を求めよ．
(3) $X^3=O$をみたす実数$x$は存在しないことを証明せよ．
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