東京医科歯科大学
2016年 医学部 第1問
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自然数$n$に対して,$n$のすべての正の約数($1$と$n$を含む)の和を$S(n)$とおく.例えば,$S(9)=1+3+9=13$である.このとき以下の各問いに答えよ.
(1) $n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^2q$と表されるとき,$S(n)=2n$を満たす$n$をすべて求めよ.
(2) $a$を自然数とする.$n=2^a-1$が$S(n)=n+1$を満たすとき,$a$は素数であることを示せ.
(3) $a$を$2$以上の自然数とする.$n=2^{a-1}(2^a-1)$が$S(n) \leqq 2n$を満たすとき,$n$の$1$の位は$6$か$8$であることを示せ.
(1) $n$が異なる素数$p$と$q$によって$n=p^2q$と表されるとき,$S(n)=2n$を満たす$n$をすべて求めよ.
(2) $a$を自然数とする.$n=2^a-1$が$S(n)=n+1$を満たすとき,$a$は素数であることを示せ.
(3) $a$を$2$以上の自然数とする.$n=2^{a-1}(2^a-1)$が$S(n) \leqq 2n$を満たすとき,$n$の$1$の位は$6$か$8$であることを示せ.
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