同志社大学
2015年 理工学部 第1問
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![次の[]に適する数または式を記入せよ.(1)さいころをn回投げて,第1回から第n回までに出た目n個の積をX_nとする.X_nが3で割り切れる確率は[ア]であり,X_nが2で割り切れる確率は[イ]である.また,X_nが6で割り切れる確率をp_nとすると\lim_{n→∞}1/nlog(1-p_n)=[ウ]である.(2)連立不等式x^2+4y^2≦4,x+2y≧2の表す領域をDとする.点(x,y)がD内を動くとき,2x+yの最小値は[エ]である.また,最大値は[オ]であり,そのときのx,yはx=[カ],y=[キ]である.(3)正整数n=1,2,3,・・・に対し∫_0^πsin^2nxdx=[ク]であり,異なる正整数m,nに対しては∫_0^πsinmxsinnxdx=[ケ]である.したがって,f(x)=Σ_{n=1}^{15}nsinnxとすると∫_0^π{f(x)}^2dx=[コ]である.](./thumb/496/2932/2015_1.png)
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次の$\fbox{}$に適する数または式を記入せよ.
(1) さいころを$n$回投げて,第$1$回から第$n$回までに出た目$n$個の積を$X_n$とする.$X_n$が$3$で割り切れる確率は$\fbox{ア}$であり,$X_n$が$2$で割り切れる確率は$\fbox{イ}$である.また,$X_n$が$6$で割り切れる確率を$p_n$とすると$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (1-p_n)=\fbox{ウ}$である.
(2) 連立不等式 \[ x^2+4y^2 \leqq 4,\quad x+2y \geqq 2 \] の表す領域を$D$とする.点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき,$2x+y$の最小値は$\fbox{エ}$である.また,最大値は$\fbox{オ}$であり,そのときの$x,\ y$は$x=\fbox{カ}$,$y=\fbox{キ}$である.
(3) 正整数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 nx \, dx=\fbox{ク}$であり,異なる正整数$m,\ n$に対しては$\displaystyle \int_0^\pi \sin mx \sin nx \, dx=\fbox{ケ}$である.したがって,$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{15} n \sin nx$とすると$\displaystyle \int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=\fbox{コ}$である.
(1) さいころを$n$回投げて,第$1$回から第$n$回までに出た目$n$個の積を$X_n$とする.$X_n$が$3$で割り切れる確率は$\fbox{ア}$であり,$X_n$が$2$で割り切れる確率は$\fbox{イ}$である.また,$X_n$が$6$で割り切れる確率を$p_n$とすると$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \log (1-p_n)=\fbox{ウ}$である.
(2) 連立不等式 \[ x^2+4y^2 \leqq 4,\quad x+2y \geqq 2 \] の表す領域を$D$とする.点$(x,\ y)$が$D$内を動くとき,$2x+y$の最小値は$\fbox{エ}$である.また,最大値は$\fbox{オ}$であり,そのときの$x,\ y$は$x=\fbox{カ}$,$y=\fbox{キ}$である.
(3) 正整数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対し$\displaystyle \int_0^\pi \sin^2 nx \, dx=\fbox{ク}$であり,異なる正整数$m,\ n$に対しては$\displaystyle \int_0^\pi \sin mx \sin nx \, dx=\fbox{ケ}$である.したがって,$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^{15} n \sin nx$とすると$\displaystyle \int_0^\pi \{f(x)\}^2 \, dx=\fbox{コ}$である.
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