座標空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)$をとり，$2$つのベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}$の内積が$0$になるような点$\mathrm{P}(x,\ y,\ z)$の集合を$S$とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面を$\alpha$とするとき，次の問いに答えよ．
(1) 集合$S$は球面であることを示し，その中心$\mathrm{Q}$の座標と半径$r$の値を求めよ．
(2) 原点$\mathrm{O}$から最も遠い距離にある$S$上の点の座標を求めよ．
(3) $(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$は，平面$\alpha$上にあることを示せ．
(4) $(1)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通って平面$\alpha$に垂直な直線を$\ell$とする．球面$S$と直線$\ell$のすべての共有点について，その座標を求めよ．