岡山大学
2010年 理系 第2問
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次の条件で定められる数列$\{a_n\}$を考える．
\[ a_1=1,\ \ a_2=3,\ \ a_{n+2}=a_n+a_{n+1} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(1) すべての自然数$n$に対して \[ X \left( \begin{array}{cc} a_n & a_{n+1} \\ a_{n+1} & a_{n+2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_{n+1} & a_{n+2} \\ a_{n+2} & a_{n+3} \end{array} \right) \] が成り立つように，行列$X$を定めよ．
(2) 自然数$n$に対して$a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$の値を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
(1) すべての自然数$n$に対して \[ X \left( \begin{array}{cc} a_n & a_{n+1} \\ a_{n+1} & a_{n+2} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} a_{n+1} & a_{n+2} \\ a_{n+2} & a_{n+3} \end{array} \right) \] が成り立つように，行列$X$を定めよ．
(2) 自然数$n$に対して$a_na_{n+2}-(a_{n+1})^2$の値を推測して，その結果を数学的帰納法によって証明せよ．
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