神戸大学
2013年 理系 第1問
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空間において,$2$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 0)$,$\mathrm{B}(-1,\ 0,\ 0)$を通る直線を$\ell$とする.次の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{P}$を$\ell$上に,点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,\ 1,\ -1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ.
(2) 点$\mathrm{R}$を$\ell$上に,点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる.$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,\ 0,\ 1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ.
(3) $\mathrm{R},\ \mathrm{S}$を$(2)$で求めた点とする.点$\mathrm{T}$を$\ell$上に,点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる.また,$\overrightarrow{v}=(a,\ b,\ c)$は零ベクトルではなく,$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする.$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ.
(1) 点$\mathrm{P}$を$\ell$上に,点$\mathrm{Q}$を$z$軸上にとる.$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$がベクトル$(3,\ 1,\ -1)$と平行になるときの$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の座標をそれぞれ求めよ.
(2) 点$\mathrm{R}$を$\ell$上に,点$\mathrm{S}$を$z$軸上にとる.$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$が$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$およびベクトル$(0,\ 0,\ 1)$の両方に垂直になるときの$\mathrm{R}$と$\mathrm{S}$の座標をそれぞれ求めよ.
(3) $\mathrm{R},\ \mathrm{S}$を$(2)$で求めた点とする.点$\mathrm{T}$を$\ell$上に,点$\mathrm{U}$を$z$軸上にとる.また,$\overrightarrow{v}=(a,\ b,\ c)$は零ベクトルではなく,$\overrightarrow{\mathrm{RS}}$に垂直ではないとする.$\overrightarrow{\mathrm{TU}}$が$\overrightarrow{v}$と平行になるときの$\mathrm{T}$と$\mathrm{U}$の座標をそれぞれ求めよ.
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