天使大学
2016年 全学部 第5問
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次の問いに答えなさい.
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=10$,$\mathrm{CA}=2 \sqrt{5}$であり,この三角形は円$\mathrm{O}$に内接している.また点$\mathrm{A}$における円$\mathrm{O}$の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{20}{3}$である.次の問いに答えなさい.
(ⅰ) $\mathrm{DC}=\frac{\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}}{\mkakko{$\mathrm{c}$}}$,$\mathrm{AB}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}$である.
(ⅱ) 円$\mathrm{O}$の半径は$\mkakko{$\mathrm{f}$}$であり,$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}}{\mkakko{$\mathrm{i}$}}$である.
(2) 実数$x$に対して$3$つの条件$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$がある.ただし$a$は定数である.
$\mathrm{P}:2x-5 \geqq x+6$
$\mathrm{Q}:x^2-(2a-1)x+a^2-a-12 \leqq 0$
$\mathrm{R}:13 \leqq x \leqq 16$
次の問いに答えなさい.
(ⅰ) $\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \leqq a$であり,$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \leqq a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$} \mkakko{$\mathrm{o}$}$である.
(ⅱ) $\tokeiichi$より,$\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件で,かつ$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となることを満たす定数$a$のうち整数は,小さい順に$\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}$,$\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}$,$\mkakko{$\mathrm{t}$} \mkakko{$\mathrm{u}$}$である.
(1) 三角形$\mathrm{ABC}$において$\mathrm{BC}=10$,$\mathrm{CA}=2 \sqrt{5}$であり,この三角形は円$\mathrm{O}$に内接している.また点$\mathrm{A}$における円$\mathrm{O}$の接線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{D}$とすると$\displaystyle \mathrm{AD}=\frac{20}{3}$である.次の問いに答えなさい.
(ⅰ) $\mathrm{DC}=\frac{\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$}}{\mkakko{$\mathrm{c}$}}$,$\mathrm{AB}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}$である.
(ⅱ) 円$\mathrm{O}$の半径は$\mkakko{$\mathrm{f}$}$であり,$\triangle \mathrm{ABD}$の面積は$\displaystyle \frac{\mkakko{$\mathrm{g}$} \mkakko{$\mathrm{h}$}}{\mkakko{$\mathrm{i}$}}$である.
(2) 実数$x$に対して$3$つの条件$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$,$\mathrm{R}$がある.ただし$a$は定数である.
$\mathrm{P}:2x-5 \geqq x+6$
$\mathrm{Q}:x^2-(2a-1)x+a^2-a-12 \leqq 0$
$\mathrm{R}:13 \leqq x \leqq 16$
次の問いに答えなさい.
(ⅰ) $\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{j}$} \mkakko{$\mathrm{k}$} \leqq a$であり,$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となるとき$\mkakko{$\mathrm{l}$} \mkakko{$\mathrm{m}$} \leqq a \leqq \mkakko{$\mathrm{n}$} \mkakko{$\mathrm{o}$}$である.
(ⅱ) $\tokeiichi$より,$\mathrm{Q}$が$\mathrm{P}$であるための十分条件で,かつ$\mathrm{Q}$が$\mathrm{R}$であるための必要条件となることを満たす定数$a$のうち整数は,小さい順に$\mkakko{$\mathrm{p}$} \mkakko{$\mathrm{q}$}$,$\mkakko{$\mathrm{r}$} \mkakko{$\mathrm{s}$}$,$\mkakko{$\mathrm{t}$} \mkakko{$\mathrm{u}$}$である.
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