高知大学
2011年 理学部・医学部 第4問
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![nを自然数とし,θをcosθ=-1/3であるような実数とする.このとき,次の問いに答えよ.(1)cos(n+1)x=2cosnxcosx-cos(n-1)xが成り立つことを示せ.(2)cosnθは\frac{m}{3^n}という形の分数で表されることを示せ.ただし,mは整数で|m|は3を約数にもたない.(3)(2)を用いてθ/πは無理数であることを示せ.](./thumb/674/2898/2011_4.png)
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$n$を自然数とし,$\theta$を$\displaystyle \cos \theta=-\frac{1}{3}$であるような実数とする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $\cos (n+1)x=2 \cos nx \cos x-\cos (n-1)x$が成り立つことを示せ.
(2) $\cos n\theta$は$\displaystyle \frac{m}{3^n}$という形の分数で表されることを示せ.ただし,$m$は整数で$|m|$は3を約数にもたない.
(3) (2)を用いて$\displaystyle \frac{\theta}{\pi}$は無理数であることを示せ.
(1) $\cos (n+1)x=2 \cos nx \cos x-\cos (n-1)x$が成り立つことを示せ.
(2) $\cos n\theta$は$\displaystyle \frac{m}{3^n}$という形の分数で表されることを示せ.ただし,$m$は整数で$|m|$は3を約数にもたない.
(3) (2)を用いて$\displaystyle \frac{\theta}{\pi}$は無理数であることを示せ.
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