電気通信大学
2010年 理系 第4問
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![実数aに対し，A=\biggl(\begin{array}{cc}1&a-2\\a+1&-3\end{array}\biggr),E=\biggl(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\biggr)とする．このとき，以下の問いに答えよ．(1)すべてのaに対してAが逆行列をもつことを示し，Aの逆行列を求めよ．(2)E-Aが逆行列をもたないようなaの値を求めよ．以下では，aを(2)で求めた値のうち正のものとする．\mon[(3)]A\biggl(\begin{array}{c}b\\3\end{array}\biggr)=\biggl(\begin{array}{c}b\\3\end{array}\biggr)となるbを求めよ．また，A\biggl(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\biggr)=k\biggl(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\biggr)となるkを求めよ．\mon[(4)]bを(3)で求めた値とし，P=\biggl(\begin{array}{cc}b&0\\3&1\end{array}\biggr)とする．AP=PQとなる2次の正方行列Qを求めよ．\mon[(5)]自然数nに対してA^nを求めよ．](./thumb/178/2358/2010_4.png)
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実数$a$に対し，
\[ A=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & a-2 \\
a+1 & -3
\end{array} \biggr),\quad E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr) \]
とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) すべての$a$に対して$A$が逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列を求めよ．
(2) $E-A$が逆行列をもたないような$a$の値を求めよ．
以下では，$a$を(2)で求めた値のうち正のものとする．
[(3)] $A \biggl( \begin{array}{c} b \\ 3 \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} b \\ 3 \end{array} \biggr)$となる$b$を求めよ．また，$A \biggl( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \biggr)=k \biggl( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \biggr)$となる$k$を求めよ． [(4)] $b$を(3)で求めた値とし，$P=\biggl( \begin{array}{cc} b & 0 \\ 3 & 1 \end{array} \biggr)$とする．$AP=PQ$となる2次の正方行列$Q$を求めよ． [(5)] 自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
(1) すべての$a$に対して$A$が逆行列をもつことを示し，$A$の逆行列を求めよ．
(2) $E-A$が逆行列をもたないような$a$の値を求めよ．
以下では，$a$を(2)で求めた値のうち正のものとする．
[(3)] $A \biggl( \begin{array}{c} b \\ 3 \end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c} b \\ 3 \end{array} \biggr)$となる$b$を求めよ．また，$A \biggl( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \biggr)=k \biggl( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \biggr)$となる$k$を求めよ． [(4)] $b$を(3)で求めた値とし，$P=\biggl( \begin{array}{cc} b & 0 \\ 3 & 1 \end{array} \biggr)$とする．$AP=PQ$となる2次の正方行列$Q$を求めよ． [(5)] 自然数$n$に対して$A^n$を求めよ．
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