京都教育大学
2013年 教育学部 第5問
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![百の位がa,十の位がb,一の位がcである1以上999以下の整数がある.ただし,この整数が99以下のときは百の位が0であるとみなし,さらに9以下のときは十の位も0であるとみなす.この整数が各位の数の和の3乗に等しいとき次の問に答えよ.(1)(a+b+c)^3-(a+b+c)は9の倍数であることを証明せよ.(2)多項式(x+y+z)^3-(x+y+z)を因数分解せよ.(3)このような整数をすべて求めよ.](./thumb/473/1279/2013_5.png)
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百の位が$a$,十の位が$b$,一の位が$c$である$1$以上$999$以下の整数がある.ただし,この整数が$99$以下のときは百の位が$0$であるとみなし,さらに$9$以下のときは十の位も$0$であるとみなす.この整数が各位の数の和の$3$乗に等しいとき次の問に答えよ.
(1) $(a+b+c)^3-(a+b+c)$は$9$の倍数であることを証明せよ.
(2) 多項式$(x+y+z)^3-(x+y+z)$を因数分解せよ.
(3) このような整数をすべて求めよ.
(1) $(a+b+c)^3-(a+b+c)$は$9$の倍数であることを証明せよ.
(2) 多項式$(x+y+z)^3-(x+y+z)$を因数分解せよ.
(3) このような整数をすべて求めよ.
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コメント(2件)
![]() (3)について。x=a,y=b,z=cを(2)に代入すると(a+b+c)^3-(a+b+c)=(a+b+c)(a+b+c+1)(a+b+c-1)となります。(1)より、(a+b+c-1)(a+b+c)(a+b+c+1)(←これは連続する3つの整数の積であることに注意)が9の倍数であることと、1≦a+b+c≦27から、a+b+cがかなり絞れます。整数問題は必要条件で絞っていくイメージを大切にしてください。 |
![]() 同じく大問1と同じ質問者です。 (3)の出し方がわかりません。 |
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