鹿児島大学
2012年 医(医)・理(数理・物理・地環)・工・歯 第4問
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![次の各問いに答えよ.ただし,eは自然対数の底とする.(1)nを自然数とする.xの関数f(x)=x^ne^{1-x}について,0<x<1ならば0<f(x)<1であることを示せ.(2)自然数nに対してI_n=∫_0^1x^ne^{1-x}dxとおくとき,I_1を求めよ.さらに,I_{n+1}とI_nの間に成り立つ関係式を求めよ.(3)(2)のI_nに対してa_n=\frac{I_n}{n!}とおくとき,Σ_{k=2}^n1/k!=a_1-a_nであることを示せ.(4)S_n=Σ_{k=1}^n1/k!とおくとき,\lim_{n→∞}S_n=e-1であることを示せ.](./thumb/742/3068/2012_4.png)
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次の各問いに答えよ.ただし,$e$は自然対数の底とする.
(1) $n$を自然数とする.$x$の関数$f(x)=x^ne^{1-x}$について,$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ.
(2) 自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{1-x} \, dx$とおくとき,$I_1$を求めよ.さらに,$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ.
(3) (2)の$I_n$に対して$\displaystyle a_n=\frac{I_n}{n!}$とおくとき,$\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}=a_1-a_n$であることを示せ.
(4) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$とおくとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=e-1$であることを示せ.
(1) $n$を自然数とする.$x$の関数$f(x)=x^ne^{1-x}$について,$0<x<1$ならば$0<f(x)<1$であることを示せ.
(2) 自然数$n$に対して$\displaystyle I_n=\int_0^1 x^ne^{1-x} \, dx$とおくとき,$I_1$を求めよ.さらに,$I_{n+1}$と$I_n$の間に成り立つ関係式を求めよ.
(3) (2)の$I_n$に対して$\displaystyle a_n=\frac{I_n}{n!}$とおくとき,$\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k!}=a_1-a_n$であることを示せ.
(4) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k!}$とおくとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}S_n=e-1$であることを示せ.
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コメント(1件)
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