桜美林大学
2014年 全学群 第1問
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次の問いに答えよ.
(1) $2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し,さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると,$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し,点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった.このとき,$a=\fbox{ア}$,$b=\fbox{イ}$,$c=\fbox{ウ}$である.
(2) $6$個の文字$\mathrm{O}$,$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{N}$について,$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$\fbox{エ}\fbox{オ}\fbox{カ}$個であり,$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は,$\fbox{キ}\fbox{ク}\fbox{ケ}$個である.
(3) $\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で,$\mathrm{A}(4,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする.三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$であり,三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$\fbox{シ}$である.
(4) $x$は実数とし,$t=2^x+2^{-x}$とおくと,$t$の最小値は$\fbox{ス}$である.また,$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$\fbox{セ}$個である.
(5) $x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという.このとき,実数解は$\displaystyle \frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}$であり,虚数解は$\fbox{チ}+\fbox{ツ}i$である.ただし,$i$は虚数単位である.
(1) $2$次関数$y=ax^2+bx+4$のグラフを原点に関して対称に移動し,さらに$y$軸の正方向に$c$だけ平行移動すると,$x$軸とで$(-1,\ 0)$で接し,点$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ 9 \right)$を通る放物線となった.このとき,$a=\fbox{ア}$,$b=\fbox{イ}$,$c=\fbox{ウ}$である.
(2) $6$個の文字$\mathrm{O}$,$\mathrm{O}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{R}$,$\mathrm{N}$について,$6$個すべてを使ってできる順列の総数は$\fbox{エ}\fbox{オ}\fbox{カ}$個であり,$6$個のうち$4$個をとってできる順列の総数は,$\fbox{キ}\fbox{ク}\fbox{ケ}$個である.
(3) $\mathrm{O}$を原点とする$xy$座標平面上で,$\mathrm{A}(4,\ 0)$,$\mathrm{B}(0,\ 3)$とする.三角形$\mathrm{OAB}$の外接円$C_1$の半径は$\displaystyle \frac{\fbox{コ}}{\fbox{サ}}$であり,三角形$\mathrm{OAB}$の内接円$C_2$の半径は$\fbox{シ}$である.
(4) $x$は実数とし,$t=2^x+2^{-x}$とおくと,$t$の最小値は$\fbox{ス}$である.また,$t^2-6t+8=0$を満たす異なる実数$x$の個数は$\fbox{セ}$個である.
(5) $x$の$2$次方程式$3x^2+(1+3i)x-2-2i=0$は実数解と虚数解をもつという.このとき,実数解は$\displaystyle \frac{\fbox{ソ}}{\fbox{タ}}$であり,虚数解は$\fbox{チ}+\fbox{ツ}i$である.ただし,$i$は虚数単位である.
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