長崎大学
2011年 文系 第3問
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下図の平行六面体$\mathrm{OABC}$-$\mathrm{DEFG}$を考える.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$とおき,次の問いに答えよ.
\imgc{713_2938_2011_1}
(1) 三角形$\mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{H}$とする. \[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=r \overrightarrow{\mathrm{AC}}+s \overrightarrow{\mathrm{AD}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}}=t \overrightarrow{\mathrm{OF}} \] をみたす実数$r,\ s,\ t$を求めよ.また,$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{ACD}$の重心であることを示せ.
(2) $\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ODB}$の重心でもあることを示せ.
(3) さらに$\mathrm{OA}=\mathrm{OC},\ \angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}$ならば,$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$であることを示せ.
(1) 三角形$\mathrm{ACD}$と線分$\mathrm{OF}$との交点を$\mathrm{H}$とする. \[ \overrightarrow{\mathrm{AH}}=r \overrightarrow{\mathrm{AC}}+s \overrightarrow{\mathrm{AD}},\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}}=t \overrightarrow{\mathrm{OF}} \] をみたす実数$r,\ s,\ t$を求めよ.また,$\mathrm{H}$が三角形$\mathrm{ACD}$の重心であることを示せ.
(2) $\mathrm{H}$は三角形$\mathrm{ODB}$の重心でもあることを示せ.
(3) さらに$\mathrm{OA}=\mathrm{OC},\ \angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{COD}$ならば,$\overrightarrow{\mathrm{OF}} \perp \overrightarrow{\mathrm{AC}}$であることを示せ.
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