鹿児島大学
2011年 医(医)・理(数理・物理・地環)・工・歯 第8問
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次の各問いに答えよ.
(1) 確率変数$X$は$0$以上$3$以下の値をとり,その確率密度関数$f(x)$は次で与えられているとする.このとき,定数$k$,平均$E(X)$を求めよ. \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{1}{2} & (0 \leqq x<1 \text{のとき}) \\ -\displaystyle\frac{1}{4}x+k & (1 \leqq x \leqq 3 \text{のとき}) \end{array} \right. \]
(2) $Z$を標準正規分布$N(0,\ 1)$に従う確率変数とする.また,任意の$x \ (x \geqq 0)$に対して,関数$g(x)$を$g(x)=P( 0 \leqq Z \leqq x)$とおく.このとき,次の各問いに答えよ.
[(a)] 確率$P(a \leqq Z \leqq b)$を関数$g$で表せ.ただし,$a$と$b$は定数で$a<b$とする. [(b)] 母平均$50$,母標準偏差$3 \sqrt{10}$の母集団から大きさ$10$の標本を抽出するとき,標本平均が$41.0$以上$48.5$以下になる確率を関数$g$で表せ. [(c)] $0<p<1$とし,$l_p$は$\displaystyle g(l_p)=\frac{p}{2}$をみたすものとする.母分散$25$の母集団から大きさ$20$の標本を抽出したところ,標本平均が$45$であった.母平均$m$に対する信頼度$100p \%$の信頼区間の区間幅を$l_p$を用いて表せ.
(1) 確率変数$X$は$0$以上$3$以下の値をとり,その確率密度関数$f(x)$は次で与えられているとする.このとき,定数$k$,平均$E(X)$を求めよ. \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} \displaystyle\frac{1}{2} & (0 \leqq x<1 \text{のとき}) \\ -\displaystyle\frac{1}{4}x+k & (1 \leqq x \leqq 3 \text{のとき}) \end{array} \right. \]
(2) $Z$を標準正規分布$N(0,\ 1)$に従う確率変数とする.また,任意の$x \ (x \geqq 0)$に対して,関数$g(x)$を$g(x)=P( 0 \leqq Z \leqq x)$とおく.このとき,次の各問いに答えよ.
[(a)] 確率$P(a \leqq Z \leqq b)$を関数$g$で表せ.ただし,$a$と$b$は定数で$a<b$とする. [(b)] 母平均$50$,母標準偏差$3 \sqrt{10}$の母集団から大きさ$10$の標本を抽出するとき,標本平均が$41.0$以上$48.5$以下になる確率を関数$g$で表せ. [(c)] $0<p<1$とし,$l_p$は$\displaystyle g(l_p)=\frac{p}{2}$をみたすものとする.母分散$25$の母集団から大きさ$20$の標本を抽出したところ,標本平均が$45$であった.母平均$m$に対する信頼度$100p \%$の信頼区間の区間幅を$l_p$を用いて表せ.
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