福島大学
2015年 理工 第4問
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三角形$\mathrm{OAB}$の辺$\mathrm{OA}$,$\mathrm{AB}$,$\mathrm{BO}$を共通の比$m:n$に内分する点を,それぞれ,$\mathrm{R}$,$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$を$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を$\overrightarrow{b}$とするとき,次の問いに答えなさい.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}},\ \overrightarrow{\mathrm{OR}}$を,それぞれ,$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|^2,\ |\overrightarrow{\mathrm{QP}}|^2$の値,および,内積$\overrightarrow{\mathrm{QR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}$を,それぞれ,$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい.
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$と三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{H}$が一致することを示しなさい.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{OQ}},\ \overrightarrow{\mathrm{OR}}$を,それぞれ,$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい.
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|^2,\ |\overrightarrow{\mathrm{QP}}|^2$の値,および,内積$\overrightarrow{\mathrm{QR}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{QP}}$を,それぞれ,$m,\ n,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表しなさい.
(3) 三角形$\mathrm{OAB}$の重心$\mathrm{G}$と三角形$\mathrm{PQR}$の重心$\mathrm{H}$が一致することを示しなさい.
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