帯広畜産大学
2016年 畜産学部 第1問
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原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$1$の円$C$上に点$\mathrm{P}$をとり,点$\mathrm{P}$における円$C$の接線$L$の方程式を$y=ax+b$とする.接線$L$は,$x$軸と点$\mathrm{A}$で,$y$軸と点$\mathrm{B}$で交わり,$\triangle \mathrm{AOB}$の面積を$S$とする.また,$x$軸の正の向きを始線とし,それと直線$\mathrm{OP}$のなす正の角を$\theta$で表す.ただし,
\[ a>0,\quad b>0 \quad \cdots\cdots \quad (\ast) \]
とする.次の各問に答えなさい.
(1) $\tokeiichi$ \ \ 直線$\mathrm{OP}$の傾きを$a$を用いて表しなさい.
$\tokeini$ \ \ $a,\ b$を$\sin \theta$を用いて表しなさい.
$\tokeisan$ \ \ $S$を$\sin 2\theta$を用いて表しなさい.
(2) $\displaystyle \theta=\frac{2 \pi}{3}$とする.
$\tokeiichi$ \ \ $a,\ b,\ S$の値をそれぞれ求めなさい.
$\tokeini$ \ \ 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい.
$\tokeisan$ \ \ $\tan 2\theta$の値を求めなさい.
(3) $\theta<2\pi$とする.$S$が最小になるとき,条件$(\ast)$の下で$\theta$と$S$のそれぞれの値を求めなさい.
(4) $\theta<200 \pi$とする.$S$が最小になるとき,条件$(\ast)$の下で$\theta$がとりうるすべての値の和を$\pi$を用いて表しなさい.
(1) $\tokeiichi$ \ \ 直線$\mathrm{OP}$の傾きを$a$を用いて表しなさい.
$\tokeini$ \ \ $a,\ b$を$\sin \theta$を用いて表しなさい.
$\tokeisan$ \ \ $S$を$\sin 2\theta$を用いて表しなさい.
(2) $\displaystyle \theta=\frac{2 \pi}{3}$とする.
$\tokeiichi$ \ \ $a,\ b,\ S$の値をそれぞれ求めなさい.
$\tokeini$ \ \ 点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$の座標を求めなさい.
$\tokeisan$ \ \ $\tan 2\theta$の値を求めなさい.
(3) $\theta<2\pi$とする.$S$が最小になるとき,条件$(\ast)$の下で$\theta$と$S$のそれぞれの値を求めなさい.
(4) $\theta<200 \pi$とする.$S$が最小になるとき,条件$(\ast)$の下で$\theta$がとりうるすべての値の和を$\pi$を用いて表しなさい.
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