上智大学
2012年 法(法),外国語(フランス・イスパニア・ロシア) 第2問
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$a,\ b$を実数とし,$C_1,\ C_2$をそれぞれ次の$2$次関数のグラフとする.
\[ C_1: y=x^2, \quad C_2: y=-(x-a)^2+2a+b \]
(1) $C_1$と$C_2$が共有点をもつための条件を$a$と$b$で表すと \[ a^2+\fbox{タ}a+\fbox{チ}b \leqq 0 \] となる.特に$b$のとりうる値の範囲は$b \geqq \fbox{ツ}$であり,$b=\fbox{ツ}$のとき$C_1$と$C_2$はただ$1$つの共有点$\left( \fbox{テ},\ \fbox{ト} \right)$をもつ.
(2) $b=6$とし,$C_1$と$C_2$は共有点をもつとすると, \[ \fbox{ナ} \leqq a \leqq \fbox{ニ} \] である.このとき,$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とすると,$D$の面積$S$は \[ S=\frac{1}{3} \left( \fbox{ヌ}a^2+\fbox{ネ}a+\fbox{ノ} \right)^{\frac{3}{2}} \] と表される.$a=\fbox{ハ}$のとき$S$は最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}$をとる.
(3) $a=\fbox{ハ}$,$b=6$とし,$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D_0$とする.点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D_0$内を動くとき,$x+2y$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}$,最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}$である.
(1) $C_1$と$C_2$が共有点をもつための条件を$a$と$b$で表すと \[ a^2+\fbox{タ}a+\fbox{チ}b \leqq 0 \] となる.特に$b$のとりうる値の範囲は$b \geqq \fbox{ツ}$であり,$b=\fbox{ツ}$のとき$C_1$と$C_2$はただ$1$つの共有点$\left( \fbox{テ},\ \fbox{ト} \right)$をもつ.
(2) $b=6$とし,$C_1$と$C_2$は共有点をもつとすると, \[ \fbox{ナ} \leqq a \leqq \fbox{ニ} \] である.このとき,$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D$とすると,$D$の面積$S$は \[ S=\frac{1}{3} \left( \fbox{ヌ}a^2+\fbox{ネ}a+\fbox{ノ} \right)^{\frac{3}{2}} \] と表される.$a=\fbox{ハ}$のとき$S$は最大値$\displaystyle \frac{\fbox{ヒ}}{\fbox{フ}}$をとる.
(3) $a=\fbox{ハ}$,$b=6$とし,$C_1$と$C_2$で囲まれた図形を$D_0$とする.点$\mathrm{P}(x,\ y)$が$D_0$内を動くとき,$x+2y$の最大値は$\displaystyle \frac{\fbox{ヘ}}{\fbox{ホ}}$,最小値は$\displaystyle \frac{\fbox{マ}}{\fbox{ミ}}$である.
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