早稲田大学
2014年 政治経済学部 第3問
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次の各問に答えよ．ただし，$(2)$は答のみ解答欄に記入せよ．
(1) 放物線$y=ax^2+bx \ \ (a>0)$と直線$y=mx$が異なる$2$点で交わるとする．原点と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，放物線と直線で囲まれた図形の面積は$\displaystyle S=\frac{1}{6}a |\alpha|^3$であることを示せ．
(2) $2$つの放物線$C_1:y=a_1x^2+b_1x$，$C_2:y=a_2x^2+b_2x$が異なる$2$点で交わるとする．ただし，$a_1a_2<0$とする．
(ⅰ) 放物線$C_1$，$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell:y=mx$とするとき，$m$を求めよ．
(ⅱ) 放物線$C_i$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_i \ \ (i=1,\ 2)$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(ⅲ) $m=1$かつ$S_1=S_2$のとき，$a_i,\ b_i \ \ (i=1,\ 2)$が満たす条件を求めよ．
(1) 放物線$y=ax^2+bx \ \ (a>0)$と直線$y=mx$が異なる$2$点で交わるとする．原点と異なる交点の$x$座標を$\alpha$とするとき，放物線と直線で囲まれた図形の面積は$\displaystyle S=\frac{1}{6}a |\alpha|^3$であることを示せ．
(2) $2$つの放物線$C_1:y=a_1x^2+b_1x$，$C_2:y=a_2x^2+b_2x$が異なる$2$点で交わるとする．ただし，$a_1a_2<0$とする．
(ⅰ) 放物線$C_1$，$C_2$の$2$つの交点を通る直線を$\ell:y=mx$とするとき，$m$を求めよ．
(ⅱ) 放物線$C_i$と直線$\ell$で囲まれた図形の面積を$S_i \ \ (i=1,\ 2)$とするとき，$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．
(ⅲ) $m=1$かつ$S_1=S_2$のとき，$a_i,\ b_i \ \ (i=1,\ 2)$が満たす条件を求めよ．
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