大分大学
2015年 医学部 第3問
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正の実数$p_i,\ q_i \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$が$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i=\sum_{i=1}^n q_i=1$を満たすとき，次の問いに答えなさい．
(1) 不等式$\log x \leqq x-1$が成り立つことを証明しなさい．
(2) 不等式$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \log p_i \geqq \sum_{i=1}^n p_i \log q_i$が成り立つことを証明しなさい．
(3) $\displaystyle F=\sum_{i=1}^n p_i \log p_i$の最小値を求めなさい．
(4) 正の実数$a_i \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$に対して，$\displaystyle G=\sum_{i=1}^n a_i \log a_i$の最小値を求めなさい．
(1) 不等式$\log x \leqq x-1$が成り立つことを証明しなさい．
(2) 不等式$\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i \log p_i \geqq \sum_{i=1}^n p_i \log q_i$が成り立つことを証明しなさい．
(3) $\displaystyle F=\sum_{i=1}^n p_i \log p_i$の最小値を求めなさい．
(4) 正の実数$a_i \ \ (i=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$に対して，$\displaystyle G=\sum_{i=1}^n a_i \log a_i$の最小値を求めなさい．
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