大分大学
2014年 工学部 第2問
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原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2 \sqrt{2}$の球面$S$上に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$があり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=4,\quad \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=5,\quad \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}=6 \]
をみたしている．三角形$\mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{OG}$と球面$S$の交点のうち$\mathrm{G}$から遠い方を$\mathrm{P}$とする．
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
(1) $|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{OG}}|$の値を求めなさい．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表しなさい．
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$のなす角を求めなさい．
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