$a,\ b,\ c,\ k$を実数とし，$k>0$とする．$2$次関数$f(x)=ax^2+bx+c$は$f(0)=9$，$f(-1)=16$をみたす．また，関数$f(x)$について，$x$に関する恒等式 \[ f^\prime(x)=6x-9k-4+\int_0^k f(t) \, dt \] が成り立つ．ただし，$f^\prime(x)$は$f(x)$の導関数とする．
(1) $f(x)$を求めなさい．
(2) $k$の値を求めなさい．