大分大学
2013年 医学部 第2問
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数列$\{x_n\},\ \{y_n\},\ \{z_n\}$の間に次の漸化式が成立する．
\[ x_{n+1}=2x_n,\quad y_{n+1}=3x_n+y_n,\quad z_{n+1}=x_n-2y_n+3z_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1) 初項$(x_1,\ y_1)=(2,\ 0)$に対して，一般項$x_n$と$y_n$を求めよ．
(2) 数列$\{a_n\}$が定数$c,\ d,\ r,\ s$に対して，関係$a_{n+1}=ra_n+cs^n+d$で定義されるとき，$f_n=ps^n+q \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が次式を満たすように定数$p$と$q$を定めよ．ただし，$r \neq s$，$r \neq 0,\ 1$，$s \neq 0,\ 1$とする． \[ a_{n+1}+f_{n+1}=r(a_n+f_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(3) 初項$(x_1,\ y_1,\ z_1)=(2,\ 0,\ 0)$に対して，一般項$z_n$を求めよ．
(1) 初項$(x_1,\ y_1)=(2,\ 0)$に対して，一般項$x_n$と$y_n$を求めよ．
(2) 数列$\{a_n\}$が定数$c,\ d,\ r,\ s$に対して，関係$a_{n+1}=ra_n+cs^n+d$で定義されるとき，$f_n=ps^n+q \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が次式を満たすように定数$p$と$q$を定めよ．ただし，$r \neq s$，$r \neq 0,\ 1$，$s \neq 0,\ 1$とする． \[ a_{n+1}+f_{n+1}=r(a_n+f_n) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(3) 初項$(x_1,\ y_1,\ z_1)=(2,\ 0,\ 0)$に対して，一般項$z_n$を求めよ．
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