関西大学
2010年 理系 第4問
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次の$\fbox{}$をうめよ.
(1) $x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.このとき,$\alpha^2+\beta^2=\fbox{$1$}$であり,さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\fbox{$2$}$である.
(2) $xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$,$(2,\ 4)$,$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより,それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする.このとき,$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$\fbox{$3$}$である.
(3) $n$は自然数とする.$(x+y+1)^n$を展開したとき,$xy$の項の係数は$90$であった.このときの$n$の値は$\fbox{$4$}$である.
(4) $-1<x$において,関数$f(x)$は \[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \] で定義されている.$f(x)$を求めると,ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる.このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$\fbox{$5$}$である.
(5) $i=\sqrt{-1}$とする.複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して,$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$\fbox{$6$}$である. $0<x \leqq \pi$とする.方程式 \[ \sin 3x+\sin x=\cos x \] の解$x$をすべて求めると$\fbox{$7$}$である.
(1) $x^2-3x+5=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とする.このとき,$\alpha^2+\beta^2=\fbox{$1$}$であり,さらに$\displaystyle \frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}=\fbox{$2$}$である.
(2) $xy$平面上の$3$点$(1,\ 2)$,$(2,\ 4)$,$(3,\ 1)$にあと$1$点$\mathrm{A}$を加えることにより,それらが平行四辺形の$4$つの頂点になるとする.このとき,$\mathrm{A}$の$y$座標をすべて求めると$\fbox{$3$}$である.
(3) $n$は自然数とする.$(x+y+1)^n$を展開したとき,$xy$の項の係数は$90$であった.このときの$n$の値は$\fbox{$4$}$である.
(4) $-1<x$において,関数$f(x)$は \[ f(x)=\lim_{n \to \infty} \frac{x^n}{x^{n+2}+x^n+1} \] で定義されている.$f(x)$を求めると,ある値$\alpha$で$f(x)$が連続にならないことがわかる.このとき$f(\alpha)$と等しい値をとるもうひとつの$x$は$\fbox{$5$}$である.
(5) $i=\sqrt{-1}$とする.複素数$\alpha=1+\sqrt{3}i$に対して,$\displaystyle \frac{(\alpha+2)^6}{\alpha^3}$の値は$\fbox{$6$}$である. $0<x \leqq \pi$とする.方程式 \[ \sin 3x+\sin x=\cos x \] の解$x$をすべて求めると$\fbox{$7$}$である.
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