聖マリアンナ医科大学
2012年 医学部 第3問
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関数$f(x)$は,
$\displaystyle \tokeiichi \ \ f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=2$
$\displaystyle \tokeini \ \ \int_0^t \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx=t^3+t \ \ (t>0)$
を満たすものとする.このとき,以下の設問に答えなさい.
(1) この条件を満たす関数$f(x)$は \[ f(x)=\fbox{$1$} \] または \[ f(x)=\fbox{$2$} \] である.
(2) 曲線$y=\fbox{$1$}$および曲線$y=\fbox{$2$}$の交点の座標をすべて求めなさい.ただし,$\fbox{$1$}$,$\fbox{$2$}$は$(1)$で求めた関数とする.
(3) 点$(x,\ y)$が$(2)$の$2$曲線$y=\fbox{$1$}$および$y=\fbox{$2$}$で囲まれた範囲(境界を含む)を動くとき,$\sqrt{7}x+3y$の最小値を求めなさい.
$\displaystyle \tokeiichi \ \ f \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)=2$
$\displaystyle \tokeini \ \ \int_0^t \sqrt{1+\{f^\prime(x)\}^2} \, dx=t^3+t \ \ (t>0)$
を満たすものとする.このとき,以下の設問に答えなさい.
(1) この条件を満たす関数$f(x)$は \[ f(x)=\fbox{$1$} \] または \[ f(x)=\fbox{$2$} \] である.
(2) 曲線$y=\fbox{$1$}$および曲線$y=\fbox{$2$}$の交点の座標をすべて求めなさい.ただし,$\fbox{$1$}$,$\fbox{$2$}$は$(1)$で求めた関数とする.
(3) 点$(x,\ y)$が$(2)$の$2$曲線$y=\fbox{$1$}$および$y=\fbox{$2$}$で囲まれた範囲(境界を含む)を動くとき,$\sqrt{7}x+3y$の最小値を求めなさい.
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