滋賀医科大学
2010年 医学部 第5問
5
![nを2以上の自然数として,階乗n!を素数の積で表すときに現れる2の個数をa_nとおく.すなわち\frac{n!}{2^{a_n}}は奇数である.(1)\frac{(2n)!}{2^nn!}は奇数であることを示せ.(2)a_{2n}-a_nをnを用いて表せ.(3)n=2^k(k は自然数 )のとき,a_nをnを用いて表せ.(4)a_n<nを示せ.(5)\sqrt[n]{n!}は無理数であることを示せ.](./thumb/465/1258/2010_5.png)
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$n$を2以上の自然数として,階乗$n!$を素数の積で表すときに現れる2の個数を$a_n$とおく.すなわち$\displaystyle \frac{n!}{2^{a_n}}$は奇数である.
(1) $\displaystyle \frac{(2n)!}{2^nn!}$は奇数であることを示せ.
(2) $a_{2n}-a_n$を$n$を用いて表せ.
(3) $n=2^k \ (k \text{は自然数})$のとき,$a_n$を$n$を用いて表せ.
(4) $a_n<n$を示せ.
(5) $\sqrt[n]{n!}$は無理数であることを示せ.
(1) $\displaystyle \frac{(2n)!}{2^nn!}$は奇数であることを示せ.
(2) $a_{2n}-a_n$を$n$を用いて表せ.
(3) $n=2^k \ (k \text{は自然数})$のとき,$a_n$を$n$を用いて表せ.
(4) $a_n<n$を示せ.
(5) $\sqrt[n]{n!}$は無理数であることを示せ.
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