愛知県立大学
2016年 理系 第2問
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![原点をOとする座標平面上に,異なる3点A,B,Pがある.それぞれの位置ベクトルをベクトルa,ベクトルb,ベクトルpとし,ベクトルp=sベクトルa+tベクトルbおよび2s+t=2を満たすとする.ただし,s>0,t>0とする.またベクトルaとベクトルbがなす角度をθ(0<θ<π/2)とする.このとき,以下の問いに答えよ.(1)点Cの位置ベクトルベクトルcがベクトルc=2ベクトルbを満たすとき,点Pは直線AC上にあることを示せ.(2)点Pを中心とする円が直線OA,OBに接しているとする.|ベクトルa|=3,|ベクトルb|=1とするとき,sとtを求めよ.(3)(2)のとき,直線OAに関して,点Pと対称な点Qの位置ベクトルをベクトルa,ベクトルb,θで表せ.](./thumb/413/2579/2016_2.png)
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原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に,異なる$3$点$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{P}$がある.それぞれの位置ベクトルを$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{p}$とし,$\overrightarrow{p}=s \overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$および$2s+t=2$を満たすとする.ただし,$s>0$,$t>0$とする.また$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$がなす角度を$\displaystyle \theta \ \ \left( 0<\theta<\frac{\pi}{2} \right)$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 点$\mathrm{C}$の位置ベクトル$\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{c}=2 \overrightarrow{b}$を満たすとき,点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AC}$上にあることを示せ.
(2) 点$\mathrm{P}$を中心とする円が直線$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$に接しているとする.$|\overrightarrow{a|}=3$,$|\overrightarrow{b|}=1$とするとき,$s$と$t$を求めよ.
(3) $(2)$のとき,直線$\mathrm{OA}$に関して,点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\theta$で表せ.
(1) 点$\mathrm{C}$の位置ベクトル$\overrightarrow{c}$が$\overrightarrow{c}=2 \overrightarrow{b}$を満たすとき,点$\mathrm{P}$は直線$\mathrm{AC}$上にあることを示せ.
(2) 点$\mathrm{P}$を中心とする円が直線$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$に接しているとする.$|\overrightarrow{a|}=3$,$|\overrightarrow{b|}=1$とするとき,$s$と$t$を求めよ.
(3) $(2)$のとき,直線$\mathrm{OA}$に関して,点$\mathrm{P}$と対称な点$\mathrm{Q}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}$,$\overrightarrow{b}$,$\theta$で表せ.
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