お茶の水女子大学
2011年 理系 第4問
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平面内に三角形ABCがある.その平面上で,1点Oを定めておく.次の問いに答えよ.
(1) 三角形ABCの内部に点Pがあるとする.このとき,3つの三角形PBC,PCA,PABの面積の比が$x:y:z$であるならば,点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ. \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2) 三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする.このとき三角形ABCの内心Iについて,その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(3) 三角形ABCが鋭角三角形であるとき,その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ.
(1) 三角形ABCの内部に点Pがあるとする.このとき,3つの三角形PBC,PCA,PABの面積の比が$x:y:z$であるならば,点Pの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$は次のように表されることを示せ. \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\frac{x \overrightarrow{\mathrm{OA}}+y \overrightarrow{\mathrm{OB}}+z \overrightarrow{\mathrm{OC}}}{x+y+z} \]
(2) 三角形ABCの3辺の長さを$a=\text{BC},\ b=\text{CA},\ c=\text{AB}$とする.このとき三角形ABCの内心Iについて,その位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OI}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$a,\ b,\ c$を用いて表せ.
(3) 三角形ABCが鋭角三角形であるとき,その外心Qの位置ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を,$\overrightarrow{\mathrm{OA}},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}$と$\alpha=\angle \text{CAB},\ \beta=\angle \text{ABC}$を用いて表せ.
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